ML Mentor
Назад к подготовке
ВопросСредняяstatisticsВопрос по метрикам на техническом собеседовании

Фальшивая монета после серии орлов

Есть 1000 монет, одна из них с орлом на обеих сторонах, остальные честные. Выбрали монету случайно и получили 10 орлов подряд. Какова вероятность, что выбрана фальшивая монета?

Ответить самому

Сначала сформулируйте ответ как на собеседовании, затем откройте разбор и оцените себя.

Загрузка

Короткий ответ

По Байесу: P(fake | 10 heads) = 2^10 / (2^10 + 999) = 1024 / 2023, то есть примерно 50.6%.

Полный разбор

Обозначим F — выбрали фальшивую монету, H — увидели 10 орлов подряд.

Prior для фальшивой монеты: P(F) = 1 / 1000. Если монета фальшивая, 10 орлов выпадут с вероятностью 1. Если монета честная, 10 орлов подряд выпадут с вероятностью (1/2)^10.

По формуле Байеса:

P(F∣H)=P(H∣F)P(F)P(H∣F)P(F)+P(H∣¬F)P(¬F).P(F \mid H) = \frac{P(H \mid F)P(F)} {P(H \mid F)P(F) + P(H \mid \neg F)P(\neg F)}.

Подставляем:

1⋅110001⋅11000+1210⋅9991000=210210+999=10242023.\frac{1 \cdot \frac{1}{1000}} {1 \cdot \frac{1}{1000} + \frac{1}{2^{10}} \cdot \frac{999}{1000}} = \frac{2^{10}}{2^{10} + 999} = \frac{1024}{2023}.

Интуитивно 10 орлов подряд сильно повышают вероятность фальшивой монеты, но не делают ее близкой к 100%, потому что честных монет очень много.

Теория

Задача проверяет Bayes update: prior фальшивой монеты мал, likelihood наблюдения для фальшивой равен 1, а для честной — 1/2^k.

Типичные ошибки

  • Ответить 1/1000, игнорируя наблюдение.
  • Ответить почти 100%, игнорируя prior и большое число честных монет.
  • Забыть множитель 999 для честных монет в знаменателе.

Как отвечать на собеседовании

  • Обозначь гипотезу и наблюдение перед формулой.
  • После формулы дай интуицию: evidence сильный, но prior маленький.